فرمول‌های پیچیده شامل روابط و محاسبات پیشرفته در ریاضیات و علوم تخصصی هستند. چند نمونه از فرمول‌های پیچیده عبارت‌اند از:
انتگرال معین – ریاضیات: \[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
ماتریس خطی – مهندسی کامپیوتر و ریاضیات: \[ Ax = b \]
حد – ریاضیات و اقتصاد: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 \]
معادله لاپلاس – فیزیک و مهندسی: \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \]
معادله گیبس-هلمهولتز – شیمی و ترمودینامیک: \[ \Delta G = \Delta H – T \Delta S \]
تعادل شیمیایی – شیمی و بیوشیمی: \[ K = \frac{\exp \left( -\frac{\Delta G^\circ}{RT} \right)}{\prod_{i=1}^{n} a_i^{\nu_i}} \]
مدل رشد لجستیک – زیست‌شناسی و محیط‌زیست: \[ P(t) = \frac{K}{1 + \frac{K – P_0}{P_0} e^{-rt}} \]
معادله ناویر-استوکس – مهندسی مکانیک و هوافضا: \[ \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \nu \nabla^2 \mathbf{v} \]
کاربرد فرمول پیچیده: این فرمول‌ها در مقالات دانشگاهی، محاسبات فیزیکی، مهندسی، ریاضیات پیشرفته، علوم شیمیایی و زیستی کاربرد دارند.
به‌عنوان مثال:
در ریاضیات برای تحلیل رفتار توابع و محاسبه انتگرال‌ها.
در فیزیک برای مدل‌سازی جریان‌ها و امواج.
در شیمی برای تحلیل انرژی آزاد و تعادل شیمیایی.
در مهندسی برای طراحی و تحلیل سیستم‌های پیچیده.
در زیست‌شناسی برای مدل‌سازی رشد جمعیت و رفتارهای زیستی.